ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Με αφορμή την ανακάλυψη του μεγαλύτερου (ως τώρα) πρώτου αριθμού, η οποία περιγράφεται εδώ

http://www.focusmag.gr/articles/view-article.rx?oid=248571

θα ήθελα να σας πω δυο λόγια για τους πρώτους αριθμούς και τη σημασία τους.

Κατ' αρχήν να πούμε για τους σχετικώς αμύητους ότι πρώτος είναι ένας αριθμός ο οποίος διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και με τη μονάδα. Π.χ. ο 13 είναι πρώτος αριθμός επειδή δεν μπορεί να διαιρεθεί παρά μόνο με το 1 και το 13. Αντίθετα π.χ. ο 21 δεν είναι πρώτος επειδή εκτός από το 1 και το 21, διαιρείται και με το 3 και με το 7. Το καταλάβαμε; Ελπίζω ναι, εύκολο είναι...

Στο παραπάνω άρθρο αναφέρεται πως για αρκετά χρόνια 700 υπολογιστές εργάζονταν συνδεδεμένοι δικτυακά για να ανακαλύψουν αυτόν τον περίφημο αριθμό, ο οποίος σημειωτέον έχει περίπου 9.100.000 ψηφία! Θα αναρωτηθεί κανείς για ποιο λόγο δαπανούνται τόσες χιλιάδες ώρες δουλειάς και τόσος κόπος για να ανακαλύψουν έναν αριθμό. Πρόκειται απλά για μια μαθηματική μανία; Έναν εγωισμό κάποιων επιστημόνων που η εκκεντρικότητά τους επιβάλλει την καταγραφή του ονόματός τους στο βιβλίο των ρεκόρ; Ασφαλώς όχι.

Η ανακάλυψη όλο και μεγαλύτερων πρώτων αριθμών ξεκινάει από το ότι ο πολλαπλασιασμός είναι η μοναδική μαθηματική πράξη που λειτουργεί μονοσήμαντα. Με απλά λόγια είναι η μόνη πράξη που έχοντας το αποτέλεσμά της δεν μπορείς να βρεις τους παράγοντες που δημιούργησαν αυτό το αποτέλεσμα. Στην πρόσθεση αν σου πουν να βρεις δυο αριθμούς που θα δίνουν ως αποτέλεσμα π.χ. 94.387 μπορείς με ευκολία να πεις 94.380 + 7. Το ίδιο μπορεί να κάνει κάποιος και στην αφαίρεση και στην διαίρεση. Τι συμβαίνει όμως με τον πολλαπλασιασμό; Αν σου ζητήσει κάποιος να βρεις δυο ακέραιους αριθμούς που δίνουν ως αποτέλεσμα 94.387 τι θα κάνεις; Μπορείς να απαντήσεις; Φυσικά όχι. Θα πρέπει να αρχίσεις να διαιρείς το νούμερο αυτό με μικρότερους αριθμούς μπας και καταφέρεις να βρεις ένα ζευγάρι παραγόντων που αν τους πολλαπλασιάσεις το γινόμενό τους να είναι το 94.387. (Παρεμπιπτόντως ο 94.387 δεν είναι πρώτος, είναι το γινόμενο του 37 επί 2.551).

Τι σημασία θα πείτε έχει αυτό με την ανακάλυψη πρώτων αριθμών; Έχει και παραέχει… Στην αδυναμία τόσο του ανθρώπινου μυαλού αλλά και των περισσοτέρων υπολογιστικών συστημάτων που έχουμε ανακαλύψει ως σήμερα να βρουν δυο τέτοιους παράγοντες όπως το 37 και το 2.551 του προηγούμενου παραδείγματός μας ώστε να παραχθεί το 94.387, στηρίζονται όλοι οι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης και κωδικοποίησης που χρησιμοποιούνται στα τραπεζικά συστήματα ασφαλείας. Σημειωτέον δε ότι το παράδειγμα που χρησιμοποίησα, το 94.387, είναι ένας «εύκολος» αριθμός επειδή απλούστατα είναι ένας μικρός αριθμός και υπάρχουνε υπολογιστικά προγράμματα (στο ιντερνέτ θα τα βρείτε εύκολα) που λύνουν το γρίφο. Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να κάνουμε το ίδιο για τον αριθμό 346.079.989.125.891.908.443; Δυσκολεύει το πράγμα… Σε αυτή τη δυσκολία λοιπόν στηρίζεται όλο το τραπεζικό σύστημα και όλη η ασφάλεια στις συναλλαγές μας. Και να φανταστεί κανείς πως αυτός είναι ένας αριθμός με μόνο 21 ψηφία. Εδώ μιλάμε ότι ανακαλύφθηκε πρώτος αριθμός με 9,1 εκατομμύρια ψηφία! Φανταστείτε το μέγεθός του! Και μην ξεχνάτε πως μιλάμε για το απλό 10δικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή. Αντίστοιχα πιο δύσκολα προβλήματα προκύπτουν όταν μεταφέρουμε το πρόβλημα στο 16δικό σύστημα, οπότε φανταστείτε τι γίνεται στο 128δικό σύστημα που χρησιμοποιούν οι περισσότερες τράπεζες για την κρυπτογράφησή τους.

Καταλαβαίνετε τώρα πόση εμπορική αξία έχει η ανακάλυψη ενός ακόμα γιγάντιου πρώτου αριθμού. Πρόκειται για σπουδαία ανακάλυψη που εκτός από αυτή την εμπορική της αξία είναι ένα ακόμα βήμα προόδου για τους μαθηματικούς. Για το λόγο αυτό επί έναν αιώνα τώρα οι μαθηματικοί ψάχνουνε να βρούνε μια συνάρτηση, έναν αλγόριθμο που θα εντοπίζει τους πρώτους αριθμούς μέσα στο άπειρο χάος των ακεραίων αριθμών. Έναν αλγόριθμο που θα τους απαλλάσσει από την αναζήτησή τους μέσω της απλής σειριακής υπολογιστικής διαδικασίας που χρησιμοποιείται σήμερα. Αυτή η συνάρτηση, αυτός ο αλγόριθμος είναι το Άγιο Δισκοπότηρο της μαθηματικής επιστήμης!